eat like a birdとは、「私は小食だ」という意味です。例えば、次のように使います。
eat like a bird 小食だ
I eat like a bird, so I don't gain any weight.
これとは逆に、「大食いだ」という場合は、eat like a horseと言います。
eat like a horse 大食漢だ
例えば、次のような使い方をします。
My brother Jack eats like a horse, so he's fat.